Changement de variable

La formule de dérivation des fonctions composées donne une méthode d’intégration appelée intégration par changement de variables

Théorème :

Soit une fonction continue sur un intervalle et une fonction continue et dérivable sur un intervalle $[\alpha,\beta]$ telle que $g(\alpha)=a,g(\beta)=b$ et $g([\alpha,\beta])=[a,b].$

Si de plus $g\prime$ est continue sur $[\alpha,\beta]$ alors

$\int_{\alpha}^{\beta}(f\circ g)(t)g^{\prime}(t)dt=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta )}f(u)du$

exemple

Calculer $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tgtdt$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin t}{\cos t}dt$

on pose $u=\cos t$

$du=-\sin tdt$

$I=\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{-du}{u}=-\left[ \ln u\right] _{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\ln\sqrt{2}$

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