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Intégration par parties

La formule de dérivation du produit de deux fonctions conduit à une méthode d’intégration appelée intégration par partie.

théorème

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables dont les fonctions dérivées $f\prime$ et $g\prime$ sont continues sur $[a,b]$

Alors $\int_{a}^{b}f(t)g^{\prime}(t)dt=\left[ f(x)g(x)\right] _{a}^{b}% -\int_{a}^{b}f^{\prime}(t)g(t)dt.$

exemple :

Calculer $\int_{1}^{2}\ln xdx$

on pose $f(x)=lnx$ et $g\prime(x)=1$

donc $f'(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=x$

d’où $\int_{1}^{2}\ln xdx=\left[ x\ln x\right] _{1}^{2}-\int_{1}% ^{2}dx=-1+2\ln2$